Fondamenti della meccanica atomica
come due autovalori E1, E2 coincidenti, ed a ciascuno di essi far corrispondere, nel modo spiegato sopra, una autofunzione normalizzata ed ortogonale
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Affinchè questo sistema di equazioni lineari ed omogenee in c1, c2 ammetta soluzioni non nulle, deve aversi
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ed è
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ed è
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e da altre due formule analoghe, ed inoltre le quantità definite, analogamente alla (63), da
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dove P ed R sono due funzioni di x ed y (che supporremo analitiche): spesso in R figura una parametro (come nella (14)), cioè l'equazione è
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Le equazioni che interessano la meccanica ondulatoria sono, nella maggior parte dei casi, equazioni a derivate parziali, lineari ed omogenee: a
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costante (perchè x ed ydevono poter variare indipendentemente): si hanno così due equazioni a derivate ordinarie per le due funzioni X ed Y. Così il
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Ed analogamente per la sovrapposizione di quanti si vogliano treni d'onde, vale a dire per una radiazione qualunque.
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conformemente alle (94'). Similmente si potrebbe ragionare riguardo alla coordinata z ed al rispettivo impulso (disponendo altrimenti la camera
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ed analogamente si potrebbe ragionare per x e z.
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D'altra parte l'incertezza su x ed y è data in questo caso dalle dimensioni dell'orbita, cioè
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II) la relazione (data dalle esperienze di diffrazione) tra lunghezza d'onda di De Broglie ed impulso delle particelle (v. § 33, p. I).
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soddisfa evidentemente la stessa equazione (131) della , ed ha lo stesso modulo, cosicchè la sua considerazione non ci dà nulla di nuovo.
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con k costante: essa è l'equazione studiata nel § 8 ed ha per integrale generale
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ed allora la (152) si identifica con la formula già nota , mentre la (151) assume la forma seguente:
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Si osservi che, secondo la meccanica classica, all'energia E corrispondono una velocità ed un impulso della particella, dati rispettivamente da
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ed introducendo di nuovo la x:
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ed i soli valori possibili per la E sono quindi quelli dati da
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Aggiungeremo poi, anticipando un risultato che verrà dimostrato nella parte III, che il quanto azimutale l ed il quanto magnetico m hanno il seguente
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(1) Per questa ed altre proprietà dei polinomi di Laguerre, v. p. es. bibl. n. 25 o n. 34.
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che è analoga alla (277), salvochè il secondo coefficiente è aumentato di 1, ed il terzo è diminuito di 1.
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Le espressioni esplicite corrispondenti ai primi valori di n ed lsono, posto le seguenti:
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ed è quindi uguale a zero salvo il caso che l'esponente si annulli, cioè che sia , nel qual caso l'integrale è uguale ad 1. Similmente, il secondo
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Le due costanti p ed e sono determinate dalle condizioni iniziali e rappresentano: p, il momento angolare (1) Sceglieremo il verso positivo di
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L'integrale si calcola prendendo come variabile d'integrazione ed osservando che
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Di solito si usano i due interi k ed n (anzichè k ed n') per caratterizzare l'orbita.
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ed i termini spettrali risultano
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ovvero, ricordando l'espressione trovata al § 16, p. I per la costante di Rydberg, ed introducendo la costante (2) Questa quantità, che interviene
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(come se ruotasse su sè stesso a guisa di trottola) ed un momento magnetico intrinseco avente direzione opposta ed il valore di un magnetone di Bohr
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Per ottenere gli sviluppi di x ed y separatamente, basterebbe scrivere l'espressione coniugata della precedente, ed operare per addizione e
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ed esprimendo le frequenze mediante le lunghezze d'onda,
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ed esprime che è hermitiano.
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Queste costituiscono un sistema di infinite equazioni lineari ed omogenee, nelle infinite incognite
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(65) si riduce a un sistema di tre equazioni lineari ed omogenee nelle tre incognite (si potrebbero scrivere tre di tali sistemi, corrispondenti a k
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ed il teorema della forza viva della meccanica classica, che scriveremo
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Sono questi gli autovalori cercati, e gli stessi si troverebbero per ed .
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e, per k ed l qualunque
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ed inoltre che la matrice
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dove R è la costante precedente, ed n', n sono due numeri interi. Facendo n'=1, ed n= 2, 3, 4... si hanno le frequenze della serie di Lyman:
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facendo n'=2, ed n = 3, 4, 5... si riottiene la (10) che rappresenta la serie di Balmer: e facendo n' = 3 ed n = 4, 5, 6... si ottengono le frequenze
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ossia, trascurando il secondo termine (che si è preso nullo ed è, in ogni caso, del terzo ordine) e utilizzando la (206):
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dove n' è fisso ed n assume tutti i valori interi da un certo valore in poi.
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dove designa la matrice unità ad N righe ed N colonne. Introducendo, invece di , la matrice definita da
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ovvero, adottando le matrici (267) ed eseguendo i prodotti:
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Fissati ed , vi sono per ed , le seguenti quattro possibilità:
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Per calcolare le , calcoliamo, mediante le (391), le autofunzioni di spin, corrispondenti alle quattro coppie di valori (393) per ed ; otteniamo:
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collisione tra elettroni ed atomi (effetto Ramsauer), ed a varie altre questioni.
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diffrazione: ciò è stato provato sperimentalmente da STERN e suoi collaboratori, da JOHNSON ed altri, mediante i raggi molecolari di idrogeno molecolare
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(1 Phys. Rev., 30, 705 (1927); J. Chem. Ed., 5, 1041 (1928).
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Accademia della crusca
